حرکت بر مسیر دایرهای نمونهای از حرکت در صفحه )حرکت دوبعدی( میباشد. حرکتهای بهدور زمین حرکت زمینی بهدور خورشید حرکت ماهوارهها به دور زمین و... با تقریب بسیار خوبی حرکت دایرهای میباشد. از آنجا که تحلیل یک جسم به شکل نقطۀ مادی کار سادهتری است )با داشتن شرایط...( در اینجا نیز در تحلیل حرکت دایره- ای جسم را ذره فرض میکنیم به این شرط که ابعاد جسم در مقایسه با شعاع دایرۀ مسیر کوچک باشد. مکان زاویهای: در بررسی حرکت دایرهای لحظه t بامحور x برابر باشد می توان نوشت: coθ inθ xi yj i j x coθ y inθ مرکز دایرۀ مسیر حرکت را مبدأ مختصات در نظر میگیریم دراین صورت اگر زاویۀ بردار مکان در y y θ x M x بدیهی است که در این حرکت مقدار ثابتی است cte اما تابعی از زمان می باشد و با گذشت زمان f t مشخص باشد مکان متحرک در آن لحظه تغییر میکند وبا تغییر مؤلفه های x y و نیز تغییر می کنند. مشخص میشود. به همین دلیل در حرکت دایرهای به معادلۀ ft اگر در هر لحظه یکای در SI رادیان سرعت زاویه متوسط: ad می باشد. t برابر اگر مکان زاویه ای ذره در لحظه t و در لحظۀ برابر با )یعنی: t ) t t معادلۀ مکان زمان باشد: را جابهجایی زاویهای مینامیم. طبق تعریف نسبت جابهجایی زاویهای بهمدت را سرعت زاویهای متوسط مینامیم. و آنرا با نشان میدهیم و داریم: یکای سرعت زاویهای متوسط در SI رادیان بر ثانیه میباشد. t t t نکات و مفاهیم : )(: سرعت زاویهای t لحظهای حد سرعت زاویهای متوسط است وقتی d lim lim t t t dt برای سهولت ازاین بهبعد بهجای سرعت زاویهای لحظهای از لفظ سرعت زاویهای استفاده به سمت صفر میل کند به عبارتی داریم: میکنیم. و به مکان زاویهای گفته میشود زمان این جابهجایی زاویهای (به کمک تساوی : می توان دو نتیجه مهم زیر را بدست آورد: d dt
θ a dθ w dt α θ tanα d w dt 0 t b θ dθ wdt dθ wdt θ wdt θ t t t t w. حرکت دایرهای یکنواخت: اگر اندازۀ سرعت زاویهای یک ذره که بر مسیر دایرهای حرکت میکندثابت بماند حرکت را دایرهای یکنواخت مینامیم درحرکت دایرهای یک نواخت واضح است که سرعت زاویهای متوسط در هر بازۀ زمانی دلخواه برابر سرعت زاویه ای لحظهای متحرک است: اگر مکان زاویهای متحرک در لحظۀ: )در هر بازۀزمانی دلخواه( t برابر در لحظۀ دلخواه t برابر باشد میتوان نوشت: t t t t * معادلۀ مکان زاویهای زمان در حرکت دایرهای یکنواخت 4. در حرکت دایرهای یکنواخت میتوان گفت سرعت زاویهای در حرکت دایرهای یکنواخت برابر زاویۀ طی شده در ثانیه میباشد: θθ t w w θθ t 5. در حرکت دایرهای یکنواخت دو کمیت مهم به نامهای دوره و بسامد داریم که به صورت زیرتعریف میشوند: دوره )یا دوره تناوب(: مدت زمانی است که در آن مدت متحرک یک بار دایرۀ مسیر را دور میزند. دوره با نماد T نشان میدهیم و یکای آن ثانیه است.
بسامد)تواتر یا فرکانس (: تعداد دورهای جسم در مدت یک ثانیه را بسامد گفته و آن را با f نشان میدهیم. رابطۀدوره با بسامد با یک تناسب ساده به دست میآید: T f T f o: f T هرتز یا تعداد دور آنها زمان ( HZ) 6. رابطۀ سرعت زاویهای یا دوره وبسامد: در حرکت دایرهای یکنواخت زاویهای طی شده متناسب با زمان است یعنی: T در این نوع حرکت داریم: زاویه طی شده زمان T w وبا توجه به مفهوم t t f T ωπf )7(:»سرعت خطی در حرکت دایرهای یکنواخت«: همانطور که میدانیم در حرکت دایرهای یکنواخت.مکان زاویهای کند مکان جسم نیز طبق روابط:»شعاع دایرۀ مسیر«متحرک θ θw θ با گذشت زمان طبق رابطۀ: تغییر می- x coθ co ωt θ y inθ in ωt θ t و : با گذشت زمان تغییر میکند. بنا براین میتوان با یافتن بردار سرعت لحظهای متحرک بزرگی آنرا بدست آورد: d v w in wt θ i wcowt θ i dt v v v v ω in ωt θ ω co ωt θ x y v w 8. شتاب در حرکت دایرهای یکنواخت: در حرکت دایرهای دیدیم در حرکت دایرهای یکنواخت اندازۀ سرعت لحظهای )سرعت خطی( برابر مقدار ثابت: v w میباشد. اما بدیهی است بردار سرعت لحظهای ثابت نمیباشد و دائما تغییر جهت میدهد. یعنی حرکت ذاتا شتابدار است و میتوان نوشت:
4 v v v dv a, v ωinωt θi ω coωt θ j dt a ω coωt θ i ω inωt θ j a w coωt θi in ωt θ j a w a ω از طرفی v ω v a a v v ω برای اثبات دو رابطۀ اخیر توجه: و شرح به زیر می توان عمل نمود: θ R Rθ میدانیم: طول کمان مقابل به زاویه θ مشاهده میشود که طول کمان S با برابر نیست اما اگر زاویۀ θ خیلی کوچک باشد طول کمان کوچک d با طول وتر کوچک d تقریبا برابر میشود : d v dt d d d drθ dθ v R Rw v Rw dt dt dt O β θ β V V V V و در شکل روبهرو متحرک باسرعت v از نقطۀ و نقطۀ میگذرد. همسنگ بردارهای V را در شکل رسم کردهایم. مثلثهای O و O متساویالساقین رأس آنها برابر است.پس با هم متشابهاند. زاویۀ و بوده V V R V V R V β V θ o β V
5 V V V R V V a a lim lim lim. V t t0 t t0 t R t0 t R از طرفی : شتاب لحظهای v a R πθ θ β π β π θ β π β هنگامی t به سمت صفر میل میکند θ نیز بهسمت صفر میل میکند و میشود و در هر نقطه از مسیر بردار تغییر V a t سرعت بر بردار سرعت عمود میشود. بردار شتاب در جهت بردار تغییر سرعت است بنابرا ین بردار شتاب در هر نقطه بر بردار سرعت عمود میشود ودر راستای شعاع دایره است. )توجه : این اثبات برای حرکت دایرهای یکنوانخت است. که نتایج آن در حرکت دایرهای غیر یکنواخت نیز بهکار میرود که اثبات آن از سطح کتاب درسی فراتر است.( 9. فرض کنیم جسم ص لبی مانند یککره یا یک میله به ترتیب حول محور یا نقطهای درحال دوران باشند.دراین حالت سرعت زاویهای نقاط مختلف این جسم ص لب با هم برابر است. اما نقاطی از این اجسام که شعاع دوران آنها باهم متفاوت است با یکدیگر متفاوت خواهد بود: θ θ θ θ t t ω ω θ θ ω ω t t V ω V ω ω V ω V نقطۀ چرخش
ع 6 نقطهای دلخواه برروی کرۀ زمین )یا هر سیاره دیگر( در نظر میگیریم. هنگام چرخش زمین بهدور محور خود این نقطه نیز. حول نقطهای که روی محور زمین قرار دارد با شعاع دوران میکند زاویۀبین شعاع گذرنده از این نقطه با شعاع دایرۀ استوا را عرض جغرافیایی آن نقطه میگوییم.* θ R e با کمی توجه در شکل میبینیم: coθ θ رض جغرافیایی R e نقطه توجه : اگربحث مقایسۀ سرعت خطی دو نقطه درروی سطح کرۀ زمین باشد با توجه به یکسان بودن سرعت زاویهای این نقاط )طبق نکتۀ 9 ( داریم: V coθ R w w V w R coθ w e e V V coθ coθ π. شعاع یک مسیر دایرهای برابر: )m( میباشد. هرگاه ذرهای برروی محیط این دایره در هر دقیقه به اندازۀ: جایی زاویهای SI انجام دهد. سرعت خطی آن چند واحد است رادیان جابه- π /5 /5) /) ) گ 4. اگر طول عقربۀ دقیقه شمار ساعت / طول عقربۀ ساعت شمارآن باشد نسبت سرعت خطی نوک عقربۀ دقیقه شمار به سرعت خطی نوک عقربۀ ساعت شمار کدام است / ) 44 ) 4/4) گ
7 π, Re 6400 km است Km چند 5 h. سرعت خطی نقطهای از زمین در عرض جغرافیایی 96 64 ) 66 ) 8 ) گ 4 به سرعت خطی نقطهای از زمین در عرض جغرافیایی 60 کدام 4. نسبت سرعت خطی نقطهای از زمین در عرض جغرافیایی 0 است ) ) ) 4 w ad 5. نمودارt w مربوط به متحرکی که بر روی یک مسیر دایرهای حرکت میکند به صورت شکل مقابل است. سرعت زاویهای متوسط آن در مدت 8 ثانیۀ اول حرکت چند ad است 7/5 ) 5 ) t ) 5 8 گ حل : π 6. سرعت زاویهای متوسط عقربۀ ثانیه شمار ساعت چند رادیان بر ثانیه است /6 /) /) / ) گ
8 θ t t مکان زاویهای ذرهای که روی یک مسیر دایرهای حرکت میکند با رابطۀ میباشد )درSI (.سرعت زاویهای.7 6 متوسط ذره در ثانیۀ اول حرکت چند واحدSI میباشد 4 - سرعت زاویهای در لحظۀ چند واحد SI است t - جابهجایی زاویهای متحرک در ثانیۀدوم حرکت چند رادیان است 9 t * : خارج از کتاب درسی: در حرکت دایرهای نسبت تغییر سرعت زاویهای آنرا با نماد α نمایش میدهند : و یکای آن در SI w به مدت زمان این تغییرات را شتاب زاویهای متوسط مینامند و w w w α t t t است. ad dw α w w α limα lim dt t t t t dθ w dt θ α d dt. در حرکت دایرهای در حالت کلی دو نوع شتاب در اثر تغییر سرعت خطی ایجاد میشود: شتابی که در اثر تغییر اندازۀ سرعت خطی V ایجاد میشود شتاب مماسی نامیده میشود.زیرا نقطه مماس بر محیط دایره )وعمود بر شعاع( میباشد و به صورت زیر تعر فی میشود: بردار شتاب مماسی در هر a τ a τ dv dt d dt
9 شتابی که در اثر تغییر جهت سرعت خطی ایجاد میشود. شتاب جانب مرکز یا شتاب شعاعی نامیده میشود زیرا جهت آن )همانگونه که قبال نشان دادهایم.( در راستای شعاع و به طرف مرکز دایره ای مسیر است. II V a Rω Vω R بنابراین شتاب کلی که متحرک برروی مسیر دایرهای و در اثر تغییر سرعت خطی پیدا میکند از رابطۀ کلی زیر بدست میآید: a τ a a a T τ a T V dv R dt a a T **دقت شود شتاب شعاعی به شتاب مماسی آن بستگی ندارد.**. رادیان زاویهای مرکزی مقابل به کمانی است که طول کمان برابر با شعاع دایره میباشد. R ad R R π 60 π / 4 در یک دایره هر π رادیان معادل است. یا هر رادیان معادل 80 است. زوایای معروف را بر حسب رادیان میتوان به شرح زیر محاسبه نمود: π π π 5π 4π π 0, 60, 45, 50 50, 460 40, 0,... 6 4 6 ) به جای نسبتهای مثلثاتی 6 زا ویژگیهای زاویه بر حسب رادیان این است که اگر زاویه بسیار کوچک باشد )حدودا کمتر از inθ و tan θ میتوان از زوایای آن ها استفاده نمود: in / 60 π ad π θ θ 90 / ad tan / 5 π π 80 60 / 5 ad
از ویژگیهای دیگر رادیان این است که میتوان طول کمان را بر حسب شعاع و)زاویه بر حسب رادیان (نوشت: R R θ ad Rθad به عنوان مثال R θπ ad π πr اگر: محیط دایره دینامیک دورانی: برای حل مسائل دینامیک دورانی به این نکات توجه میکنیم: ( ابتدا نیروهای وارد بر جسم را ( در مکان مورد نظر محورهای مختصات و رو به مرکزدوران باشد. در مکان های مورد نظر رسم میکنیم. عمود بر همxoy را به گونهای در نظر میگیریم که یکی از محورها در جهت شعاع دوران ( اگر نیرو یا نیروهایی مشاهده گردید که در امتداد محورها نبودند آنها را روی محورها تجزیه میکنید. ft ma V a w برآیند نیروهای وارد بر جسم را در امتداد شعاع دوران یافته و مینویسم. 5( گاهی الزم است برای یافتن سرعت جسم و در نتیجه انرژی جنبشی جسم در یک مکان معین قانون پایستگی انرژی را بکار ببریم. یعنی انرژی مکانیکی جسم را در آن مکان با انرژی مکانیکی جسم در مکانی دیگر مقایسه مینمائیم. )نیروهای تلف کنندۀ انرژی چون اصطکاک( کار نیروهای نا پایستار E E E W fr توجه: در بند 4 دقت شود F T برآیند نیروهای وارد بر جسم در امتداد شعاع دوران است که به آن اصطالحا )نیروی مرکز گرا(یا)جانب به مرکز( گوئیم. نیروی مرکزگرا خود نیروی جداگانهای نیست بلکه مو لفههایی از نیروهایی چون: نیروی وزن- فنر- اصطکاک - کشش نخ و... تأمین کنندۀ این نیرو هستند. بنابراین در هر سؤال که نیرویی در مکانی خاص از ما خواسته میشود دقت کنیم که نیروی خواسته شده نیروی مرکز گراست یا نیروی دیگر. SI جسمی بر روی یک مسیر دایرهای به شعاع 0cm حرکت میکند. اگر سرعت خطی آن به صورت: v4t در.8 تعریف شود جسم لحظۀt شروع حرکت برابر π در چه مکان زاویهای قرار دارد )مکان زاویهای جسم در لحظۀ و جهت حرکت آن ساعتگرد است و π(.
. 9 اگر دورۀ حرکتی جسمی که بر روی مسیر دایرهای حرکت میکند چهار برابر شود انرژی جنبشی جسم چند برابر شود w ad. نمودارt w متحرکی که بر مسیر دایرهای در حرکت است مطابق 4 t شکل مقابل است. اگر سرعت زاویهای متوسط آن در طول ثانیۀ حرکت 9 برابر چند ad رادیان بر ثانیه باشد بیشترین سرعت زاویهای خواهد بود متحرک π π. مکان زاویهای ذرهای که روی مسیر دایرهای به شعاع 0m حرکت میکند با رابطۀ: θ t داده شده است 0 t چند متر بر ثانیه است 6 و t بر حسب رادیان ) بزرگی سرعت متوسط این متحرک بین دو لحظۀ θ برحسب ثانیه و t (
. الف( در حرکت دایرهای یکنواخت مسیر دایره برابر شود بزرگی سرعت خطی و بزرگی شتاب چه تغییر میکنند ب( در حرکت خودرو در یک پیچ با شیب عرضی چه نیرویی نیروی مرکز گرا است حل : سرعت خطی طبق رابطۀ زاویهای v w با دوبرابر شدن شعاع مسیر دو برابر میشود.زیرا در حرکت دایرهای یکنواخت سرعت ω ثابت است و شتاب دو برابرمیشود. ب( مؤلفۀ افقی نیروی عمودی سطح. )نهایی - ریاضی -87//5(. الف(حرکت دایرهای یکنواخت را تعریف کنید w ب( نشان دهید در حرکت دایرهای رابطۀw V دایرهای حرکت است. )رسم شکل الزامی است. ) حرکتی است که در آن سرعت زاویهای ذره روی مسیر دایره در تمام لحظهها یکسان است. و درنتیجه بین سرعت خطی سرعت زاویهای V و سرعت زاویهای برقرار است. شعاع مسیر y x v v S متوسط بین دو لحظۀ دلخواه مساوی سرعت زاویهای لحظهای میشود. t ب( بردار مکان در لحظۀ و در لحظۀ را با را با نمایش میدهیم: t متوسط V V V lim V lim t لحظهای t t t t هرگاه t میل کند با کمان که روبهروی آن است برابر میشود: d d dθ V lim, θ ω t t dt dt dt V w )و به اثبات و توضیحات متن کتاب نیز حتما رجوع شود.( )نهایی - تجربی )87//5 الف( 4. چرا در حرکت دایرهای یکنواخت شتاب وجود دارد ب( معادلۀ مکان زاویهای ذرهای که بر مسیر دایرهای حرکت میکند در SI به صورت: 6t θ t سرعت زاویهای متوسط ذره را در بازۀ زمانی است t و t به دست آورید.
الف( : زیرا جهت بردار سرعت دائما تغییر میکند. θ t 6t θ 6 ad θ 6 ad θ θ ω 6ad t t ب( : 5. الف( در حرکت دایرهای یکنواخت کدام یک از کمیتهای زیر ثابت است توضیح دهید 4( نیرو ( شتاب سرعت زاویهای ( سرعت خطی ) ب( در ورزش پرتاب چکش ورزشکار دستۀ وسیلهای به نام چکش )شامل : وزنه زنجیر و دسته( را در دست میگیرد و آن را در یک سطح تقریبا افقی میچرخاند. در این مورد چه نیرویی مرکز گرا است )87//6- ریاضی- هماهنگ کشوری( زنجیر وزنه الف ) فقط سرعت زاویهای ثابت است. زیرا سه کمیت دیگر برداری هستند و جهت آنها تغییر میکند. ب( نیروی کشش زنجیر 6. جسمی به جرم / کیلوگرم را به نخی به طول / متر بسته و در سطح افقی بدون اصطکاک میچرخانیم. اگر بسامد حرکت جسم 5 هرتز باشد نیروی کششی نخ را بدست آورید. π / جسم حرکت دایرهای انجام میدهد لذا میتوان نوشت. 7. در جای خالی کلمۀ مناسب بنویسید وبه پاسخنامه انقال دهید: نیروی کششی نخ = نیروی جانب مرکز T t / / 5 8N
4 در حرکت دایرهای یکنواخت زاویۀ بین سرعت و شتاب... درجه است. )5 / 87/ -کشوری- تجربی( حل : 90 است. )87//5- کشوری-تجربی( 8. در هر یک از دو مورد زیر نیروی مرکز گرا کدام است الف( گلولهای را به فنری بسته و در سطح افقی بدون اصطکاکی بچرخانیم. ب( مهرهای که بر روی یک صفحهای افقی گردان همراه با صفحه میچرخد. ب( : نیروی اصطکاکی ایستایی الف( : نیروی کشسانی فنر. 9 قرص های چرخانی روی یک سطح افقی در هر دقیقه دور میچرخد.سرعت خطی و سرعت زاویهای نقطهای واقع بر قرص که تا مرکز /5 متر فاصله دارد چه اندازه است حل : t T n 0 60 05 / π π w 4π ad T 05 / S t V w 0/ 54π 6m μ و فاصله مهره تا محور. مهرهای روی یک افقی گردان قرار گرفته و با صفحه در مسیر دایرهای میگردد. اگر : 4 دوران 5cmباشد حداکثر بسامدصحفۀ گردان چهقدر باشد تا مهره روی صفحه ساکن بماند g π μ 4 5cm 0/ 5m f? HZ μ mg m πf g μ 4π f f mω 4 0 5 4 g g / f f Hz R e از سطح زمین به دور زمین در حال گردش است. در حرکت ماهواره :. ماهوارهای به جرم m در فاصلۀ الف( چه نیرویی نقش نیروی مرکز گرا را ایفا میکند ب( شتاب مرکزگرا در محل این ماهواره چند برابر شدت میدان گرا شین در سطح زمین است
5 R R R e e e GMe g R e mg GmMe R e GmMe GMe GMe ma a R e الف(نیروی گرانش زمین: a R e, g Re 9 ب( m در مدار دایرهای به دور زمین در حرکتاند.ارتفاع آنها ازسطح زمین m m دو ماهواره یکی به جرم و دومی به جرم R e ( h R e h R e. به ترتیب و است. شعاع کرۀ زمین است( الف( : نیروی مرکز گرای حرکت ماهوارههای اول چند برابر نیروی مرکز گرای حرکت ماهوارۀ دوم است ب ) : سرعت خطی ماهوارۀ اول چند برابر سرعت خطی ماهوارۀ دوم است ج( : دورۀ ماهوارۀ اول چند برابر دورۀ ماهوارۀ دوم است F m m Re Re Re Re Re 4Re? F الف( mv F m V V? V F F FT F m V F m V R V V 4 V e V V F m V Re V V V π V T T? T V ω T V T T T T T 4 ب( : ج( : در دایرۀ قائمی به شعاع 80cm میچرخانیم. سرعت سطل و باالترین نقطۀ مسیر حرکت حداقل چقدر باید. طلی پراز آب را v باشد تا آب از آن بیرون نریزد N mg
6 حل : در باالترین نقطه در حالت کلی دو نیروی N و W به آب درون سطح وارد میشود: V NV mv N mg m mg N V Vmin 8 Vmin g Vmin g 0 m 0 4. ماهوارهای بهدور زمین و در حال چرخش است. چرا شخص درون این ماهواره احساس بیوزنی میکند min حل : N زیرا ماهواره شتاب گرانشی ( در محل ماهواره ) در حال حرکت است: V mg N ma mg N mg a g Me N mg یعنی این شخص به تکیهگاه واقع در کف پای خود نیرویی وارد نمیکند و باالعکس. این یعنی احساس بیوزنی. یعنی تکیهگاه باشد یا نباشد تفاوتی نمیکند. و شعاع آن 40 متر است. اگر سطح این پیچ بدون اصطکاک باشد: 5. زاویۀ شیب عرض پیچ جادهای 0 الف( یک خودرو حداکثر با چه سرعتی میتواند در این پیچ حرکتکند ب( اگر جرم این خودرو یک تن باشد بزرگی نیروی مرکز گرا و نیروی عمودی سطح در پیچ جاده را حساب کنید. حل : θ max? tanθ V m V m V 0 40 g 40 0 الف( V 40 0 400 V 0 m
7 ب( v 400 0000 4 m f 000 5774N m ton 000kg 40 N? N N coθ mg N 000 0 N 764 N π θ t t 4 6. رابطۀ مکان زاویهای-زمان برای ذرهای که بر مسیر دایرهای به شعاع 40cm حرکت میکند به صورت: است. مطلوب است : الف( سرعت زاویهای متوسط ذره در سه ثانیهای اول حرکت. ب( سرعت زاویهای در لحظۀ t ج( سرعت خطی در لحظۀ t د( سرعت خطی متوسط ذره در دوثانیه اول حرکت : π θ 4 t? a t t w الف( حل π π π π 5 t θ ad t π ad 4 4 4 θ 9 0 5π π θ θ θ π w π ad t t t dθ π π π t ω? ad w t w ad ب( : dt 4 5 4 4 4
8 π? m 5 t N v w / 4 / 5π m 4 π π θ θ θ π V? m w t t t 4 π V w / 4 / π m 4 ad ج( 7. سرعت زاویهای و سرعت خطی در نقاط مختلف کرۀ زمین یکسان است یا متفاوت توضیح دهید. سرعت زاویهای حرکت وضعی زمین در تمام نقاط زمین یکسان است زیرا دوره چرخش زمین به دوره خود برای تمامی نقاط π π 5 w 7 ad / 0 زمین یکسان است. T 86400 سرعت خطی در نقاط مختلف زمین یکسان نیست. زیرا به فاصلۀ نقطه از محور چرخش زمین بستگی دارد و این فاصله متغییر است. گلولهای به جرم 00g را به نخ به طول متر بسته و در قائم بر مسیر دایرهای میچرخانیم. اگر نیروی کشش نخ در.8 N باشد مطلوب است: ب( نیروی کشش نخ در پایین ترین و باالترین نقطۀ مسیر. لحظۀ عبور از وضع افقی برابر الف( سرعت خطی گلوله حل : m 00g / kg m Tc N Vc? m T? N T? N V / V 0 V / 6 / m V T mg ma T ma mg m g 0 T / / 0 0 V T / 4N T mg ma T ma mg m a g 0 0 / T / 0 T 9 کامل کنید: بیشترین سرعت خطی در روی سطح کرۀ زمین در منطقۀ... و کمترین سرعت خطی در منطقۀ... است. استوا- قطب
9. کامل کنید: الف( در حرکت دایرهای یکنواخت جهت برایند نیروهای وارده بر جسم... است. ب( در حرکت دایرهای همواره جهت شتاب بهس تم... است. ج( در حرکت دایرهای یکنواخت بردارهای سرعت خطی و نیروی مرکز گرا همواره... هستند. الف( به سمت مرکز ب( مرکز دوران ج( عمود بر هم : مطابق شکل دو جسم با جرمهای مساوی روی دایرههایی با شعاعهای در مدت زمانهای مساوی جابهجایی زاویهای θ با یکدیگر مقایسه کنید. به صورت یکنواخت حرکت میکنند. بهطوری که آنها یکسان است. با استدالل سرعتهای خطی و نیروی مرکزگرای آنها را m m t t θ θ w w v w v v v w v v v v * t t θ θ چون و پس سرعت زاویهای آنها یکسان است. F mω F ** F m ω F F F * : با افزایش شعاع دایره سرعت خطی نیز افزایش مییابد. ** : پس با افزایش شعاع دایره نیروی مرکزگرا نیز افزایش مییابد.. در هریک از موردهای زیر نیرو مرکز گرای را مشخص کنید. )8//9( الف( حرکت الکترون به دور هسته ب( گردش سیاره ها به دور خورشید
الف(نیروی الکتریکی ب( نیروی گرانش. شهر آبادان در مدار جغرافیایی درجۀ شمالی قرار دارد. سرعت زاویهای وسرعت خطی نقطهای از این شهر را حساب کنید. π w, T 460 60 86400 T π 5 w 7 ad / 70 86400 R co0 e 6 6 6/ 40 / 896 5/ 540 m 6 v w 5/ 540 40/ 9 m R e 6 40 شعاع زمین را 9 m در نظر بگیرید. 4. در سر پیچ جادهها زاویۀشیب عرضی جاده با راستای افق چقدر باشد تا اتومبیل که با بیشینه سرعت مجاز جاده را میپیماید از y مسیر جاده منحرف نشود )اثبات رابطه رسم شکل( / N coα N N inα x ها نیروی x در امتداد محور N مؤلفۀ نیروی مرکزگرا را میسازد و مؤلفۀ آن در امتداد محور y ها با وزن اتومبیل خنثی شود. mg α mv N inα N coα mg tag α v g 5. نسبت سرعت زاویهای عقربۀ ساعت شمار به سرعت زاویهای شهر آبادان که در مدار 0 روی زمین قرار دارد حساب کنید. حل : π π w T دورۀ عقربۀ ساعت شمار ساعت است. دورۀ حرکت وضعی زمین در تمام نقاطش یکسان است. لذا سرعت زاویهای آن در تمام نقاط زمین یکسان میشود: π w π π w w T w π 4 w 4 a v 6. اثبات کنید در حرکت دایرهای یکنواخت میباشد.
اثبات در متن کتاب درسی یک ماهواره درچه فاصلهای از مرکز زمین باید قرار گیرد تا همواره در یک نقطه در باالی خط استوا باشد جرم زمین.7 G 6 / 670 Nm. Kg 5/ 980 و 4 kg حل : برای اینکار دورۀ تناوب ماهواره باید با دوره تناوب کرۀ زمین یکسان باشد. T 4h 4 600 86400 زمین v GMe m GMe GMe 4π GMe m v w T T 86400 4 GMe 6 67 0 5 98 0 π / 4 / / 4460/ 40 * 548758/ 8470 * 6/ 8 m مطابق شکل روبهرو بسته شده m و 8. به انتهای نخی به طول 80cm که از حلقۀبدون اصطکاک o گذشته است دو وزنۀ m روی میز دایره شکلی به گونهای دوران میکند که در مرکز دوران آن به حالت تعادل قرار دارد. سرعت زاویه m است. وزنۀ چند رادیان بر ثانیه است. 9 آونگی به جرم 00g که طول آن 40cm است را به اندازۀ 60 میکنیم. سرعت گلولۀ آونگ و نیروی کشش نخ هنگام عبور آونگ از نسبت به وضع تعادل منحرف کرده و بدون سرعت اولیه رها راستای قائم چقدر است m 0 m g 0N kg حل : 4. اتومبیلی در حال دور زدن پیچ افقی جادهای به شعاع متر است. آونگی از سقف اتومبیل آویزان است و در این حالت آونگ با راستای قائم زاویۀ 5 میسازد سرعت اتومبیل چند g 0m است m
π 4 مسیر دایرهای را میپیماید. دربازۀ زمانی که ذره کمان را طی میکند تغییر نیروی m 4. جسمی به جرم 4kg باسرعت مرکز گرای وارد بر ذره چند نیوتن است )شعاع مسیر 0m است.( 4 ad متحرکی روی دایرهای شکل زیر با سرعت زاویهای ثابت حرکت میکند. در لحظۀ عبور از نقطۀ بردار سرعت و.4 y m j شتاب آن بر حسب, i بنویسید 4-4 4 x m -4 به میلۀ بدون جرمی به طول l متصل ومیله با حرکت دایرهای یک نواخت روی سطح افقی 4. در شکل روبهرو دو وزنۀ, بدون اصطکاکی در حال چرخش است. نیروی مرکز گرای وارد بر وزنۀ چند برابر نیروی مرکز گرای وارد بر وزنۀ m 4m است L L O.44 طول پروانۀ یک هلیکوپتر چهار پروانهای / m 5 است و در هر دقیقه 5 دور میزند.سرعت خطی انتهای آن پروانه چقدر است
ار نقطۀ 45. گلولهای به وزن w در داخل ظرفی صیقلی به شکل نیم کره تحت نیروی وزن خود شروع به حرکت میکند بیشینۀ نیروی واکنش سطح چند برابر w است دوران میکند.تغییر اندازۀ حرکت گلوله در با سرعت زاویهای w روی دایرهای به شعاع بر دوره را 46. گلولهای به جرم m حسب, w, بیایید. m θ t 6t4 معادلۀ مکان زاویهای ذرهای در SI با رابطۀ مشخص شده است. اگرشعاع دایرۀ مسیر m باشد سرعت.47 خطی درلحظۀ t چند متر بر ثانیه است 48. مهرهای به جرم 0g به انتهای نخی به طول : cm 40 بسته و سر دیگر نخ به نقطۀ ثابتی روی سطح افقی متصل است که می- تواند حول آن به راحتی بچرخد بیشینۀ کشش قابل تحمل نخ : چند m است )اصطکاک ناچیز است( 0 N است. بیشترین سرعتی که میتوان به مهره داد 4 ) ) ) گ 4 49. دو متحرک محیط دو دایره با شعاع یکسان را با سرعتهای ثابت طی میکنند. در مدتی که متحرک اول 5 دور میچرخد متحرک دوم دور میچرخد شتاب مرکزگرای وارد بر اولی چند برابر شتاب مرکزگرا دومی است 5 5 ) 9 5 ) 5 9 ) گ حل :
4.5 طول عقربۀ دقیقه شمار ساعتی 4 خطی نوک عقربۀ دقیقه شمار کدام گزینه است برابر طول عقربۀ ساعت شمار آن است. نسبت سرعت نوک عقربۀ ساعت شماربه سرعت 9) 6 ) 6) گ 5. در شکل روبهرو وزنهای به جرم 8 گرم توسط دو نخ C 5 cm به میلۀ قائمی وصل است. وقتی دستگاه به دور و C به طول C محور میلۀ قائم با سرعت زاویهای 0ad میچرخد وضع قرار گرفتن جسم و نخ ها نظیر شکل است. نیروی کشش نخها و سرعت خطی V w 5 / m ). وزنه را بیابید.. 40 cm, g 0N Kg 5. در هر یک از شکلها اتومبیل با سرعت 0 m در حرکت است و جرم آن نیز 500 kg است.نیروی عمودی سطح افقی نیروی عمودی پل محدب در باالترین مسیرو نیروی عمودی پل مقعر درپایینترین نقطه مسیر بیابید.)شعاع پل محدب و مقعر 00m است( الف( ب( پ(
5 m 5. در شکل روبهرو جسم روی سطح بدون اصطکاک ازنقطۀ رها میشود ودر انتها وارد یک مسیر نیم دایره به شعاع میشود اندازۀ نیروی واکنش سطح در پائینترین نقطۀ مسیر چند برابر وزن جسم است 7 6) 5) 4 ) m R گ 4 حل : 54.یک کامیون جعبهای را بر پشت خود حمل میکند و ضریب اصطکاک ایستایی بین جعبه و کف بارکش / است. اگر کامیون به پیچ جادهای به شعاع 9 برسد بیشینۀ سرعتی که با آن میتواند پیچ را دوربزند تا جعبه بر کف بارکش کامیون نلغزد چند m m است g 0 m kg 4 ) ) /) 9 ) گ 5 kg 7 km h. 55 در واگنی که با سرعت دایرهای به شعاع آویزان است. نیرو سنج چند نیوتن را نمایش میدهد را دور میزند جسمی به جرم از نیرو سنجی R80 m g 0 N kg 75) 50) 5 5 ) گ
6 حرکت ماهوارهها: m فرض کنیم میخواهیم ماهوارهای به جرم m در مداری به شعاع )فاصله از مرکز زمین( به دور زمین بگردد. در این صورت نیروی گرانشی بین کرۀ زمین Me f g و ماهواره نقش نیروی مرکز گرا را ایفا خواهد کرد و داریم : V V GMem V FT m F g m m GMe GMe V V سرعت خطی حرکت ماهواره به دور زمین میبینیم که سرعت خطی حرکت ماهواره به دور زمین با جذر شعاع گردش ماهواره نسبت عکس دارد. برای محاسبه دورۀ گردش ماهواره بهدور زمین میتوان نوشت: π π π V T T V GMe T π GMe دورۀ گردش ماهواره به دور زمین توجه : همانگونه در روابط بهدست آمده مشاهده میشود سرعت خطی ماهوارهها و دوره تناوب آنها به جرم ماهواره بستگی ندارد. - درضمن با کمی تأمل در مییابیم که در محل ماهواره شتاب مرکزگرای ماهواره همان شتاب گرانشی میباشد. 56. فاصلۀ یک ماهواره تا سطح زمین دوبرابر شعاع زمین است. جرم و شتاب ماهواره در آن مدار به ترتیب چند برابر جرم همان ماهواره و شتاب گرانشی در روی زمین است, 9, ) 9, 4 ), 4 ) گ حل :
7 وزن آن در سطح زمین است. فاصله این ماهواره از سطح زمین چند برابر شعاع زمین 6 57. نیروی مرکز گرای وارد بر ماهوارهای است 8 4 ) ) ) گ h ماهوارهای به فاصلۀ h از سطح زمین وماهوارۀ دیگری به فاصلۀ از سطح زمین به دور آن میچرخند و نسبت سرعت.58 V است. h چند برابر سطح زمین است V آنها 4 ) ) 4 ) گ 4 حل : 59. اگر شعاع دوران ماهوارهای برابر شعاع کرۀ زمین باشد نسبت نیروی مرکز گرای وارد برماهواره به وزن آن در سطح کرۀ زمین کدام است ) ) ) گ. 6 یک ماهواره در مدار دایرهای شکلی به دور محور زمین در حرکت است. اگر این ماهواره نسبت به یک ناظر ساکن درروی زمین بی حرکت به نظر رسد. دورۀ حرکت آن برابر است با: 4( روز (65 روز ( ساعت (4 ساعت
8, جرم دو ماهواره با هم برابر است ولی نیرویی که زمین بر ماهوارۀ وارد میکند 6 برابر نیرویی است که زمین بر.6 است )سنجش -84( ماهوارۀ وارد میکند. سرعت ماهوارۀ چند برابر سرعت ماهوارۀ 6 8) 4) ) گ حل : 6. بر یک فضانوردی که درون یک ماهواره است از طرف تکیهگاه چه نیرویی وارد میشود ( دوبرابر وزن فضانورد ( صفر (وزن فضا نورد 4( بستگی به سرعت حرکت ماهواره دارد. گ حل : V, V در مدارهایی به شعاع مساوی بهدور سیاره با سرعتهای میچرخند. اگر جرم سیارهها به, 6. دو ماهواره V V m m m ترتیب و وشعاع آنها به ترتیب R و R باشد نسبت کدام است 4R 4 ) ) ) گ حل :
9 64. جرم سیارۀ مشتری برابر کرۀ زمین است. یک ماهواره در مداری به شعاع به گرد زمین و ماهوارۀ دیگری در مداری به 4 شعاع به گرد مشتری میچرخد. دورۀ حرکت ماهواره اولی چند برابر دومی است m را به نخ بدون جرمی به طول 50cm متصل کردهایم و در قائمی با سرعت ثابت دوران 65. گلولهای به جرم 4kg میدهیم نسبت کشش نخ در پایینترین نقطۀ مسیر به کشش نخ در باالترین نقطۀ مسیر چند است 66. یک کامیون جعبهای را بر پشت خود حمل میکند که ضریب اصطکاک جعبه با بارکش آن / میباشد اگر کامیون به پیچ جادهای به شعاع 9m برسد حداکثر با چه سرعتی برحسب متر بر ثانیه این پیچ را دوربزند تا جعبه بر کف بارکش کامیون نلغزد g 0 N Kg
مطابق شکل ذرهای بر روی دایرۀ افقی به شعاع در داخل قیفی بدون.67 V اصطکاک با سرعت V میگردد. در این صورت برابراست با : 45 g g ) g ) g ) گ 4 حل : π در حرکت است. اگر قطر چرخ آن یک متر باشد چرخ در هر دقیقه چند دور میزند 7km h. 68 اتومبیلی با سرعت V 7km 0m h /5 π πr R T V 0 0 V Rw R. T / 5 تعداد زمان / 5 N 400 60 N? از نقطۀ 69. در شکل روبه رو جسمی به جرم m روی سطح شیبدار بدون سرعت اولیه رها میشود و پس از طی مسیر وارد مسیر دایرهای شکل به D شعاع R میشود آیا جسم به نقطۀ D میرسد R o C )اصطکاک در تمام مسیر ناچیز است.(
D جسم ه نقطۀ D نمیرسد زیرا اگر به نقطۀ برسد دو حالت ممکن است رخ E mg R VD ED E ED mgr vd m دهد: واین نقض قانون پایستگی انرژی است که نمیشود )الف V )ب V R D D ad mg N mg N N mg N mg mg N, mg در حالی که در شکل : هم جهتاند پس چون است حالت خاص نیز رد شده و جسم نمیتواند به نقطۀ D برسد. روی سطح نیم دایرۀ بدون اصطکاک به پایین میلغزد. دریک نقطۀ دلخواه شتاب حرکت 7. در شکل زیر جسمی به جرم M متحرک را بیابید : M حل : C
a τ شتاب در نقطۀ از دو شتاب مماسی و شتاب مرکز گرا تشکیل شده است. R θ N mg coθ mg inθ θ mg C R co θ a a τ R ginθ V R با استفاده از قانون پایستگی انرژی بین دو نقطۀ, داریم: E E mv mgrcoθ * V grcoθ aτ ginθ Rg coθ a aτ ar g g ar gcoθ R inθ coθ ag 4in θ co θ in θ a g in θ 4g 4g in θ مشاهده میشود: ( این تست به دلیل نیاز به فهم شتاب مماسی خارج از بحث کتاب درسی است. inθ,c با کاهش θاز نقطۀ تا کاهش یافته و a افزایش مییابد ) 7. ذرهای روی مسیر دایرهای با سرعت زاویهای ثابت wحرکت میکند و شعاع دایره Rاست شتاب متوسط این متحرک در بازۀ m زمانی که کمان 7 را روی دایره طی میکند چند است حل :
8 V V V V V V V 0 R a t T T T T in 7 co7 ω / 4 ω / ω R / R 6 Rω a π π π 0 ω π π ω T T ω R e شعاع زمین است.(از سطح زمین به دور آن میچرخد برابر کدام گزینه ( R e 4 7. انرژی جنبشی ماهوارهای که در فاصلۀ است 5 mgr e 4 5mgR / e ) 4mgR e ) mgr e 5 ) گ حل : در ماهوارهای که فاصلهاش تا سطح زمین دو برابر شعاع زمین است جسمی به جرم 9 Kg را روی باسکولی قرار دادهاند.7 باسکول چه عددی را نشان میدهد 9 45) ) (صفر گ حل :
4 74. فاصلۀ متوسط زمین تا خورشید 5 میلیون کیلومتر است. اگر عطارد تقریبا هر 88 روز یک دور خورشید را بزند فاصلهاش از خورشید تقریبا چند میلیون کیلومتر است 8 58) 7) ) گ آونگ مخروطی : گلولهای به جرم m را به انتهای نخی به طول l متصل نموده و آنگاه جسم را حول یک محور عمودی به دوران در میآوریم. به گونه- ای که جسم برروی یک سطح افقی حرکت خواهد نمود θ θ T coθ θ T m mg T inθ y: T coθ mg mv x: T inθ V tanθ g
5 در آونگی مخروطی به این نکات نیز توجه میکنیم: ( میتوانیم رابطۀ را به شکل دیگری نیز بنویسیم: V w w w w tanθ tanθ g g g L θ h inθ Linθ tan θ w L inθ g coθ g w ) co θ Lw g Lcoθ h h g w کاهش مییابد و چون coθ مفهوم فیزیکی : هرچه به ازای طول ثابت نخ آونگی )بسامد( و در نتیجه ω افزایش مییابد θ 90 θ یعنی افزایش مییابد. ( با درک فیزیکی ما مطابقت دارد اینطور نیست!(. 75. در یک آونگ مخروطی زاویهای که نخ با راستای قائم میسازد 6 درجه و وزن گلوله / نیوتن است. نیروی مرکزگرای وارد بر گلوله چند نیوتن است / / ) / ) / ) گ 76. در یک آونگ مخروطی نیروی مرکز گرای وارد بر گلوله برابر نیروی وزن آن است. نیروی کشش نخ چند برابر وزن گلوله است 8 ) 4) ) گ 4
6 77. یک آون مخروطی با سرعت زاویهای 4 رادیان بر ثانیه حول محور قائمی میچرخد. گر زاویۀ نخ آونگ با امتداد قائم 6 درجه باشد طول نخ چند متر است g m 0 5 / 5 ) / 8 ) 5 6 ) گ g 0 m 78. در یک آونگ مخروطی به طول 80cm زاویهای که راستای نخ با امتداد قائم میسازد 6 درجه است.اگر: فرض شود سرعت زاویهای آونگ چند رادیان بر ثانیه است 75 / 5 ) 4) 6 / ) گ حرکت دورانی در سطح قائم: اگر جسمی در یک سطح قائم روی یک مسیر دایرهای دوران کند بسته به اینکه روی یک سطح دوران کرده یا توسط یک نخ یا T میلۀ سبک نیروی مرکزگرا را نیروهایی چون نیروی وزن یا N یا و... و یا مولفههایی از آنها تأمین میکنند.اگر در مسأله قید شود که جسم با اندازۀ سرعت ثابت در حال حرکت است بیشترین نیرو کشش نخ یا N مقدار را در باالترین نقطۀ مسیر خواهند داشت. به مثالهای زیر توجه کنید: در پایین ترین نقطۀ مسیر و کمترین 79. در شکل مقابل ظرفی به شکل نیمکره است که جسمی به جرم m از نقطۀ )لبۀ ظرف( رها میشود. اگر اصطکاک ناچیز باشد اندازۀ نیروی که در پایینترین نقطه از طرف ظرف به جسم وارد میشود چند برابر وزن جسم است 4 ) ) ) گ
7 R 0 o 8. در شکل مقابل وزنهای به جرمm شده است و در حالت افقی نخ قرار دارد از را که به نخی به طول R بسته نقطۀ رها میکنیم تا در قائم حرکت میکند. اندازۀ نیروی کشش نخ در حالتی که وزنه از نقطۀ میگذرد چند برابر وزن وزنه است ) ) ) گ V 8. شکل مقابل هواپیمایی را نشان میدهد که در یک قائم مسیر دایرهای شکل را با سرعت ثابت V دور میزند و وزن ظاهری خلبان در پایینترین نقطۀ مسیر برابر وزن ظاهری در باالترین نقطۀ مسیر است. شعاع دایرۀ چرخش هواپیما چقدر است v g v g ) ) 4v g v g ) ) گ α L 8. در شکل مقابل بیشترین نیروی کششی که نخ میتواند تحمل کند 6 نیوتن است. جرم وزنۀ متصل به نخ بسته شده به آن را حداکثر تا چه زاویۀ Kg α است. نخ و وزنۀ از حالت تعادل منحرف کنیم تادر صورت رها شدن از آن نقطه در ضمن حرکت نخ پاره نشود m Kg cco ) cin ) cco 5 cin 5 ) گ 4
8 8.گلولهای کوچکی درون حلقۀ قائم و بدون اصطکاکی به شعاع R دوران میکند. اگر در باالترین نقطه نیرو وارد از طرف حلقه بر گلوله برابر وزن آن باشد بیشترین سرعت گلوله در طول مسیرش برابر کدام خواهد بود 7Rg Rg ) Rg ) 5Rg ) گ 4 84. جسمی به جرم گرم درون حلقۀ قائم بدون اصطکاکی مطابق شکل دوران میکند. اگر انرژی جنبشی گلوله در نقطه o / J 48 برابر: چند نیوتن است باشد نیروی وارد بر گلوله از طرف حلقه در نقطۀ R m / ) 6) / 6 4 / ) گ 4 شیب عرضی جاده: در جاده سازی سرپیچها شیب عرضی ایجاد میکنند تا اتومبیلها بدون خطر انحراف و خارج شدن از مسیر جاده را طیکنند. زاویۀ شیب عرضی جاده با راستای افق چقدر باشد تا هتگامی که اتومبیل با حداکثر سرعت مجاز پیچ جاده را طی میکند از مسیر جاده منحرف نشود.)اصطکاک در عرض جاده قابل چشم پوشی است.( θ
9 نمودار نیروهای وارد بر اتومبیل را در مقطع عرضی جاده در شکل زیر مشخص کردها م:ی به اتومبیل نیروی وزن و نیروی عمودی سطح جاده وارد میشوند. این نیروها را روی محورهای, yx تجزیه میکنیم : N coθ N N inθ v a F ma N coθ mg y y T y y mg θ v vx cte FT ma N inθ m x v tg g شعاع انحنای جاده g 0 m 85. شیب عرضی جادهای 45 درجه است. اگر شعاع انحنای جاده 4 متر سرعت مناسب در این قسمت از جاده چند m است t به مقدار,θ شیب عرضی جاده میگوییم باشد با فرض ناچیز بودن اصطکاک 4 ) ) ) گ اتومبیلی جادهای به شیب عرضی φ را بهطور یکنواخت با سرعت مجاز دور میزند. اگر بزرگی نیروی عمودی وارد از جاده بر.86 اتومبیل N و وزن اتومبیل Wباشد کدام گزینه صحیح است )اصطکاک ناچیز فرض شود( N Wcoφ) NW NW ) NW) گ
4. 87 حداقل ضریب اصطکاک بین چرخهای اتومبیل و جاده چقدر باید باشد تا اتومبیل بتواند در جادۀ افقی پیچی به شعاع انحنای 75 متر را با سرعت g 0m 5 طی کند m /75 / ) / ) / 5 ) گ 4 88. اگر در یک روز بارانی ضریب اصطکاک بین چرخهای اتومبیل و جاده به ضریب اصطکاک در روزهای معمولی تقلیل یابد حداکثر سرعت مجاز در سرپیچ یک جادۀ افقی در این روز چه کسری از حداکثر سرعت مجاز در روزهای معمولی خواهد بود 4 ) 8 ) 6 ) گ 4 0ad 50N M جسمی به جرم 00g را به سر فنری با ثابت میبندیم و مجموعه را با سرعت زاویهای روی یک سطح.89 افقی میچرخانیم.اگر طول اولیه فنر 60cm باشد طول نهایی آن چند سانتیمتر خواهد بود m را دور میزند شتاب مرکزگرای آن چند است 9. یک اتومبیلی با سرعت ثابت پیچ جادهای با زاویۀ شیب عرضی 5 ) g 0N Kg )اصطکاک زمین ناچیز و
4 9. اتومبیلی در مسیر دایرای با سرعت V روی جادۀ افقی دور میزند. اگر در این حالت بزرگی وزن اتومبیل W و نیروی وارد بر اتومبیل از طرف جاده را F فرض کنیم کدام رابطۀ زیردرست است F W F W ) F W ) F W ) 9 :یک ماهواره در مداری که بزرگی میدان گرانشی ماهواره چند 4 g m c 0 m است ( در سطح زمین( شتاب گرانش در سطح زمین است به دور زمین میچرخد. شتاب حرکت 9. ماهوارهای در مداری گرد زمین میچرخد و فاصلۀ ماهواره از سطح زمین ربع شعاع زمین است. شتابگرانش در آن ارتفاع چند برابر شتاب مرکزگرای ماهواره است 70 km h پرواز کند.. اگر بیشنه نیروی که خلبان میتواند تحمل کند هشت برابر وزن او باشد 94. هواپیمای جتی با سرعت کمترین شعاع دوران موقع دور زدن هواپیما چندمتر است g 0N Kg 95. در شکل روبهرو گلولهای از انتهای ریسمان آویزان و حول محور قائم باسرعت ثابت میچرخد بزرگی نیروی مرکزگرای وارد بر گلوله را با وزن جسم مقایسه کنید.
4 96. در شکل مقابل گلولهای به جرم 400g درون یک ظرف نیمکره به جرم 600g از نقطۀ رها میشود در لحظهای که به نقطۀ )کف نیمکره( میرسد نیروسنج چه عددی را نشان میدهد g 0N Kg 00 فنر سبکی را 0cm متراکم و رها میکنیم جسم در منطقۀ وارد مسیر 97. در شکل روبهرو به وسیلۀ جسمی به جرم g دایرهای به شعاع 0cm میشود. اگر اصطکاک ناچیز و g 0N Kg C نقطۀمیسر )نقطۀ C( چند نیوتن است R باشد نیرو وارد بر سطح توسط جسم در باالترین N K 60 M V m.98 مطابق شکل گلولهای به جرم دایرهای در قائم میشود / 5Kg با سرعت 0m وارد مسیر اگر شعاع دایره متر باشد بیشنۀکار m / 5 Kg نیروی اصطکاک در مسیر نکند چند ژول باشد تا گلوله در نقطۀ سقوط g 0N Kg R e از سطح زمین در یک مدار دایرهای به دور زمین میگردد. اگر شعاع زمین و شعاع مدار R e 99. ماهوارهای در فاصلۀ SI کدام است ماهواره و g شتاب گرانش در سطح زمین باشد دورۀ گردش ماهواره در 4π Re g π Re g ) 4π g ) π g ) گ
4 π. مکان زاویهای ذرهای که روی مسیر دایرهای به شعاع 0m حرکت میکند با رابطۀ : θ t 0 t حسب ثانیه و θ برحسب رادیان( بزرگی شتاب متوسط این متحرک بین دو لحظۀ است داده شده است.) tبر و t 6 چند متر بر مجذور ثانیه 400m دایرهای افقی به شعاع 0Km را دور میزند. برآیند نیروهای وارد بر این هواپیما چند. هواپیمایی با سرعت ثابت برابر وزن آن است. اگر شعاع مدار ماهوارهای 4 برابر شود شتاب مرکزگرای حرکت دایرهای آن چند برابر میگردد a g.... زمین وسیارۀ تیر )عطارد( هرکدام روی یک مدار تقریبا دایرهای شکل دور خورشید میگردند این دو مدار تقریبا در یک صفحهاند و جهت گردش زمین و تیر به دور خورشید یکی است. تقریبا سه ماه طول میکشد تا تیر یکبار دور خورشید را دور بزند. فرض کنید در زمان صفر تیر در کمترین فاصله از زمین باشد )به این حالت مقارنه سطحی میگویند.( اولین باری که این وضعیت دوباره تکرار میشود چه مدت طول میکشد )المپیاد فیزیک( ( پانزده ماه ( دوازده ماه ( چهار ماه 4( سه ماه گ فرض کنید که بعداز t ماه وضعیت زمین و تیر در همان وضعیت قبلی قرار گیرد. در همین مدت اگر زمین n دور بزند تیر n دور زدهاست پس داریم: t )دورۀ زمین و تیر برابرT T, فرض شدهاند.( n t nt T t t t n T t t T T n n T T زمین تیر t t T T T T t t 4 ماه t
44 ماهوارهای به جرم M در مدار دایرهای به شعاع R به دور زمین میگردد ( R شعاع کرۀ زمین( انرژی جنبشی ماهواره.4 برابر است با: MRg MRg ) MRg 4 ) MRg ) گ GMe GMe g R g g GMe g R V R R g g g R 4 R K mv m R mr K mr Mg R فضانوردی در داخل سفینۀ خود که به دور زمین در حال گردش است یک لیوان آب را رها میکند:.5 الف( لیوان آب در جای خود معلق می ماند. ب( لیوان آب سقوط میکند. ج( آب داخل لیوان به طرف باال میرود. د( بستگی به سرعت خطی حرکت ماهواره دارد. 6. هواپیمایی با سرعت ثابت 54 کیلومتر بر ساعت بر روی یک دایرۀ افقی پرواز میکند. بالهای هواپیما با امتداد قائم زاویۀ 45 درجه میسازد. شعاع دایرهای که هواپیما برروی آن پرواز میکند بر حسب کیلومتر چند است جواب: / Km 5
45 C.7 ارابۀ کوچکی به جرم M روی سطح بدون اصطکاک از نقطۀ حرکت کرده و در ادامه مسیر دایرهای شکل را در قائم میپیماید. اختالف اندازه نیروی مرکزگرا ارابه در دونقطۀ, C چند برابر وزن آن است )سراسری ریاضی- 89 ( 4 ) ) ) گ 8. در حرکت دایرهای یکنواخت اگر سرعت خطی متحرک دو برابرو شعاع دوران نصف شود نیروی مرکزگرای چند برابر میشود )آزاد- ریاضی- 89 ( 8 ) 6 ) 4 ) گ v 60 6 / m 9. الکترونی که نقطۀ M دارای سرعت است است. تحت تأثیر میدان مغناطیسی یکنواخت مسیر نیمدایرهای Mتا Nرا مطابق شکل روبهرو طی میکند. چند تسال و در چه جهتی m 90 Kg, e 60 c e 9 / V - M 0cm N برونسو 4 50 90 درونسو / 5 5 ) 4 50 درونسو / 5 90 برونسو 5 ) ) گ 4
46 ** : سرعت ماهواره متناسب با...... است. )سراسری - ریاضی - 88( ( جذر عکس شعاع مدار ( جذر شعاع مدار ( جذر جرم ماهواره 4( عکس مربع شعاع مدار گ. اگر در یک حرکت دایرهای یکنواخت شعاع انحنایی مسیر و سرعت خطی متحرک برابر شود شتاب مرکزگرا چند برابر میشود )سراسری تجربی - 88( 4 ) ) /5 ) گ. جرم دو ماهوارۀ, با هم برابرند.اگر شعاع مدار ماهوارۀ دوبرابر شعاع مدار ماهوارۀ باشد انرژی جنبشی آن برابر انرژی جنبشی ماهوارۀ )سراسری - تجربی 87( است ) ) ) گ
47. جرم دو ماهوارۀ, چند برابر سرعت خطی ماهوارۀ به ترتیب R, R e e m, m و به فاصلههای R e است ) شعاع کرۀ زمین( از سطح زمین قرار دارند.سرعت خطی ماهوارۀ )سراسری ریاضی -86( ) ) ) گ 4 4. فاصلۀ مدار گردش یک ماهواره تا سطح زمین برابر شعاع زمین است. اندازۀ شتاب مرکزگرای ماهواره چند برابر اندازۀ شتاب گرانش در روی زمین است )سراسری تجربی -86( 9 4 ) ) گ 4 5. در حرکت وضعی زمین به دور محور خود سرعت خطی نقطهای در مدار جغرافیایی 6 درجۀ شمالی چند برابر سرعت خطی )سراسری ریاضی 85 ) نقطهای واقع در مدار جغرافیایی درجه شمالی است ) ) ) گ 4
48 m m, m تحت تأثیر نیروهای مرکزگرای برابر روی دو دایره با شعاعهای برابر حرکت می- 6. دو جسم به جرمهای با: کنند در این صورت نسبت دورۀ حرکت جسمی که جرمش بیشتر است به دورۀ حرکت جسمی که جرمش کمتر است برابراست- )آزاد ریاضی )88 ) ) ) گ 4 7. گلولهای در ته یک نیمکره به شعاع R که روی سطح افقی ایستاده است قرار دارد. نیمکره حول محور قائم با چه سرعت زاویهای بچرخد تا گلوله در ارتفاع R از ته ظرف واقع شده و همراه نیمکره گردش کند ( اصطکاک ناچیز است( 8.گلولهای در یک نیمکرۀ قائم بدون اصطکاک مطابق شکل از نقطۀ رها میشود. هنگامی که در نقطۀ از مسیر خود قرار o گرفته است برآیند نیروهای وارد بر آن کدام است ( صفر است. ( به سمت باالست. ( به سمت پایین است. 4( مماس بر مسیر است.
49 00 m دایرهای افقی به شعاع Km را دور میزند. برایند نیروهای وارد بر این هواپیما چند 9. هواپیمایی با سرعت ثابت برابر وزن آن است /5 /5) 4 ) /4) گ,. دو اتومبیل به جرمهای m m با اندازۀ سرعت V برای هر دو برابر R میباشد. اگر اتومبیل بتواند از جاده عبور کند اتومبیل از جادۀ یخی با شیب عرضی عبور میکنند و شعاع مسیر... ( نیز میتواند از جاده عبور کند. ( بهطرف باالی سطح لیز میخورد V R 4( بسته به نوع ( به طرف پایین سطح لیز میخورد. هر سه حالت ممکن است گ یک افقی حول محوری که از مرکز آن میگذرد به طور یکنواخت میچرخد دو وزنه به جرمهای m, m در. فاصلههای d, d از مرکز صفحه قرار دارند و به همراه آن میچرخند. نیروی اصطکاک وارد بر جسم سنگینتر چند برابر نیروی نیروی اصطکاک وارد بر جسم سبکتر است 6 ) ) ) گ 4
5. دو جسم به جرمهای m, m اگر است روی محیط دو دایرۀ هم مرکز به شعاع های R, R به طور یکنواخت حرکت میکنند. جابهجایی زاویهای دو جسم در زمانهای مساوی یکسان باشد انرژی جنبشی جسم اول چند برابر انرژی جنبشی جسم دوم 9 ) ) ) گ 4. موتور سواری در داخل یک استوانۀ قائم به شعاع متر روی محیط یک دایرۀ افقی میچرخد و ظریب اصطکاک سکون بین الستیک و سطح دیوارۀ استوانه برابر /5 میباشد. موتور سوار حداقل با چه سرعتی بر حسب متر بر ثانیه باید بچرخد تا سقوط نکند 5 ) ) 5 ) گ و 5cm به جرم / 8 Kg به کمک دو نخ به طولهای 5 cm به میلۀ قائمی وصل است. وقتی دستگاه به دور.4 جسم C 0ad میچرخد و وضع قرار گرفتن جسم میلۀ قائمی وصل شده است. وقتی دستگاه به دور محور میلۀ قائم با سرعت زاویهای و نخ ها مطابق شکل است. نیروی کشش نخ c چند نیوتن است 4 ) 48 ) C 6 ) گ
5 / و g.جسم کوچکی به فاصلۀ 5 cm از مرکز از مرکز یک افقی دوار قرار گرفته است. ضریب اصطکاک بین جسم و صفحه 5-0m فرض میشود. حداکثر تعداد دوران صفحه در هر ثانیه برای اینکه جسم روی صفحه نلغزد کدام است 0 π 0 π ) 5 π ) 5 4π ) گ میباشد. اگر 0 باشد این متحرک ωπt 6. جسمی بر مسیر دایرهای حرکت میکند و معادلۀ سرعت زاویهای آن: π در مدت 6 ثانیه چند دور دایره را میچرخد 8 9 ) 4 ) ) گ dθ ω dθ ωdt θ ωdt dt 7. یک پروتن در یک شتاب دهنده روی دایرهای به شعاع 40cm در مدت / μ به طور یکنواخت یک دور کامل میچرخد. اندازۀ شتاب متوسط آن در مدت 6 دوره چند متر بر مجذور ثانیه است π 7 / 0 60 ) / 60 4 ) / 0 7 ) گ
5 8. شهر آبادان در مدار درجه روی سطح زمین قرار دارد. سرعت زاویهای و سرعت خطی شخصی در آبادان به ترتیب چند برابر سرعت زاویهای و سرعت خطی شخصی که در استوا زندگی میکند میباشد,, ), ), ) گ 9: شعاع مدار ماهوارهای n برابر شعاع کرۀ زمین است. نسبت شتاب مرکز گرای حرکت ماهواره به شتاب گرانش در محل ماهواره کدام است n ) n ) n ) گ 4 0m.اتومبیلی با سرعت از روی پل محدب به شعاع متر عبور میکند. نیرویی که از طرف صندلی به رانندۀ 6 کیلویی این اتومبیل وارد میشود چند نیوتن است 4 6 ) 6) 84 ) گ
5. دو ماهواره یکی به جرم M و دیگری به جرم m در دو مدار دایرهای به دور زمین یکی در ارتفاع R و دیگری در ارتفاع R شعاع کرۀ زمین است.( در حرکت میباشد نیروی مرکز گرای حرکت اولی چند برابر نیروی مرکز گرای حرکت دومی ( R است ) ) 9 ) گ. دو ماهواره روی مدار دایرهای به ترتیب دور زمین و ماه میچرخند. اگر اندازۀ سرعت خطی آنها یکسان و جرم زمین 8 برابر جرم ماه باشد. دورۀ حرکت ماهوارۀ اول چند برابر دورۀ حرکت ماهوارۀدوم خواهد بود 5 0 4 5 ) 80 ) 8) گ. اگر کرۀزمین فاقد جو بود حداقل دورۀ گردش یک ماهواره نظر گرفته شود.( به دور زمین چند ثانیه میبود )شعاع کرۀ زمین 6400km در 86400 400 ) 00π ) 600π ) گ
54 4m به 4. یک اتومبیل مسابقهای بر یک مسیر افقی دایرهای شکل به شعاع 60m از حال سکون و با شتاب مماس حرکت در میآید پس از 0 از پیست مسابقه خارج میشود. )لیز میخورد( ضریب اصطکاک ایستایی بین الستبیکهای اتومبیل و سطح پیست چقدر است /8 ) /5 ) /) گ 4 4m اندازۀسرعت خطی اتومبیل در هر ثانیه افزایش مییابد و پس از 0 از حال سکون به سرعت 40m میرسد: V at v 40 40m این بیشینۀ سرعتی است که اتومبیل با آن میتواند مسیر را دور بزند: vmax μg 40 μ 600 μ 5. بچهای در باالی یک تپه یخی نیم کرهای شکل به شعاع R نشسته است و از حال سکون شروع به لغزیدن میکند. بچه در چه ارتفاعی )نسبت به پایین تپه( از یخ جدا میشود )یخ را بدون اصطکاک فرض کنید.( R R R ) R ) R ) گ موقعیت لحظۀ جدا شدن جسم از سطح نیمکرۀ یخی است.
55 R θ h E E K v K v v mgr mv mgh h R g V Rgcoθ, N N R gcoθ R R h h R R coθ h R h R h R g R h coθ R در لحضۀجدایی بچه از سطح یخ )چرا( 6. شخصی به وزن W روی ترازویی ایستاده است. او گلولهای به وزن W را به ریسمان سبکی بسته است و میچرخاند. W بهطوری که حرکت گلوله افقی است. در این حالت ترازو وزن را نشان میدهد. کدام گزینه درست است W W W ) W W W ) 4( هر یک از سه گزینۀ قبلی ممکن است. W W W ) گ 7. در تست قبلی اگر بزرگی نیرویی که ترازو به شخص وارد میکند R باشد کدام گزینه صحیح است R W ) R W ) W ممکن نیست., مقایسه R R W ) گ ریسمان با نیروی نیرویی خالف جهت T شخصی را در راستای افقی میکشد. از آنجا که شخص در راستای افقی حرکت نمیکند نتیجه میگیریم حتما x T به شخص وارد میشود که همان نیروی اصطکاک وارد بر کف پای شخص است پس: x N W R N f, f T R W x
56 θ T T x T x f 8. ماهوارهای در فاصلهای به اندازۀ برابر شعاع زمین باالتر از سطح زمین قرار دارد. در این صورت سرعت خطی حرکت R e g ماهواره به دور زمین کدام است ( شتاب گرانش در محل ماهواره و شعاع کرۀ زمین است.( g R e g R e ) g R e ) gr e ) گ 9. جسمی در یک مسیر دایرهای به صورت کند شونده حرکت میکند. بزرگی نیروی مرکزگرای جسم در مقایسه با اندازۀ برآیند نیروهای وارده بر آن چگونه است (کوچکتر ( بزرگتر 4( اظهار نظر قطعی ممکن نیست ( مساوی گ در صورتی که حرکت جسم کند شونده باشد نیروی مماسی در خالف جهت حرکت جسم به آن وارد میشود. نیروی f وارد بر جسم برآیند نیروهای مماسی و مرکزگرای وارد بر آن است. جهت حرکت F F F F F F F *اگر حرکت تند شوندۀ میبود هم فقط جهت F عوض میشد F. F و بازهم: F F و اگر جسم به طور یکنواخت دوران کند: F
57 ωπt است. این 4. معادلۀ سرعت زاویهای ذرهای که روی دایرهای به شعاع 0cm حرکت کند در SIبه صورت: π ذره در ثانیۀ اول چه مسافتی را بر )حسب سانتیمتر( طی میکند π ) ( صفر 60π 40π ) dθ ω dθ ωdt θ ω w dt θ πt πt θ dt θ πt πt و مسافت ad cm θ π π π θ 0 π 40π 4. اگر زمان یک شبانه روز به k برابر مقدار فعلی برسد اجسام واقع بر روی خط استوا در حالت بی وزنی قرار میگیرند. K کدام است ( π و شعاع استوایی زمین 6400Km در نظر گرفته میشود( 0 ) 6 0 6 ) 8 ) 6 ) گ استوا mg Nmg N mr e ω g ω ad R 800 e بی وزنی: N شبانه روز قبلی T 460 min π π ω T 80min T 80min T ω T 80 T 460
58 داده شده است ( t بر حسب ثانیه و θ بر θ t 4. مکان زاویهای ذرهای که روی مسیر دایرهای حرکت میکند با رابطۀ : حسب رادیان است.(در این رابطه کدام بیان صحیح نیست ( حرکت متحرک دایرهای یکنواخت است. ( حرکت متحرک در مدت ثانیه زاویهای برابر 4 رادیان را طی میکند. ( سرعت زاویهای متوسط متحرک همواره برابر سرعت زاویهای لحظهای آن است. )س ر )84 4( متحرک در مدت ثانیه اول حرکت زاویهای برابر 6 رادیان طی میکند. گ 4. به انتهای فنری گلولهای بسته و در یک افقی به طور یکنواخت میگردانیم. هرگاه دورۀ حرکت گلوله را نصف کنیم افزایش طول فنر 8 برابر میشود. در این صورت شعاع دوران چند برابر خواهد شد 8 ) 8 ) ) گ فاصلۀ ماهوارۀ تا سطح زمین به اندازۀ شعاع زمین است و این فاصله برای ماهوارۀ به اندارۀ برابر شعاع زمین است..44 اندازۀ سرعت خطی ماهواره چند برابر اندازۀ سرعت ماهوارۀ است )س ر -85( ) ) ) گ
59 45: وزنهای به جرم 4 گرم به یک سر ریسمان سبکی وصل است و سر دیگر ریسمان در مرکز یک میز افقی بدون اصطکاک N ثابت شده است و وزنه در مسیر دایرهای افقی به طور یکنواخت روی میز میچرخد. اگر نیروی کشش ریسمان و طول آن 0cm باشد سرعت زاویهای وزنه چند رادیان بر ثانیه است )س- ر- 85( 4π 4 ) 5π ) 5 ) گ 4 46. یک افقی دوار در هر دقیقه 5 دور میچرخد. اگر حداکثر فاصلۀ سکهای که روی صفحه قرار دارد از محور آن متر باشد سکه نمیلغزد. ضریب اصطکاک ایستایی بین صفحه و سکه چهقدر است m g 0,π 0 )س- ر- 86 ) / /8 ) /6 ) /5) گ 4 0 m در یک سطح افقی دایرهای به شعاع متر را طی 47. یک دوچرخه سوار با بزرگی سرعت ثابت میکند. جرم دوچرخه و دوچرخهسوار بر روی هم 80Kg شود چند نیوتن است است. نیرویی که از طرف جاده بر دوچرخه وارد می- g 0m ( س- ر- 87( 400 5 80 6 ) 8) 4 ) گ
6 ثابت است و جسم m روی سطح افقی بدون اصطکاک روی 48. در شکل مقابل ω w M دایرهای به شعاع آویزان است نسبت حرکت میکند و نخ از روزنهای عبور کرده و وزنۀ از آن m M کدام است )س- ر- 88( ω g ) g ω ) M g ω ω g ) گ 4 49.. مطابق شکل روبهرو وزنهای به جرم یککیلوگرم روی فنری به ضریب سختی K 400 n تکیه دارد و در حال تعادل است. وزنه m را حداقل چند سانتیمتر روی فنر بفشاریم و رها کنیم تا وزنه بتواند مسیر دایرهای شکل قائم را که شعاع آن نیم متر است طی کند ) g 0m ( اصطکاک ناچیز و )س- ر- 89( 5 ) /5) 5 0 0 5 ) گ 4 5. جسمی به جرم 5 Kg حرکت دایرهای یکنواخت دارد و در هر ثانیه یک دور میچرخد. اگر شعاع مسیر 5 متر باشد نیروی مرکز گرایی آن چند نیوتن است π 0 )س- ت- ر( 5 ) ) ) گ
6 در سطح قائم میچرخد. کمترین سرعت در 90cm 5. سطلی پراز آب به طنابی بسته شده است و روی دایرهای به شعاع باالترین نقطۀ مسیر چند متر بر ثانیه باشد تا آب سطل نریزد )س- ت- 86( g 0m 9 6 ) ) ) حل گ : 5. ذرهای در هر دقیقه 6 بار مسیر دایرهای به محیط متر را بهطور یکنواخت طی میکند. اندازۀ شتاب مرکز گرای ذره چند متر بر مربع ثانیه است π )س- ت- 88( 5 6 8 5 ) 8 5 ) 6 5 ) گ 5. مطابق شکل الکترونی در یک مدار دایرهای شکل به دور هسته میگردد.مدار گردش الکترون میان دو قطب یک آهنربای- الکتریکی قرار دارد. کدام گزینه دربارۀ سرعت حرکت الکترون پساز ایجاد جریان در سیمپیچهای آهنربا درست است شعاع e V حرکت الکترون مقدار ثابتی فرض شده است. ( کندتر ( تندتر ( بدون تغیر 4( بسته به شرایط هرکدام از حالتها ممکن است رخ دهد. گ تا قبلاز ایجاد میدان مغناطیسی نیروی الکتریکی که هسته به الکترون وارد میکند F E پساز ایجاد میدان مغناطیسی یک نیرو مغناطیسی نیز در راستای شعاع و به سمت مرکز دوران به الکترون وارد میشود: F * البته ایرادی که به این تست میشود گرفت این است که چون سرعت جسم تغییر کند v v مگر اینکه شعاع دوران این الکترون نیز تغییر کند... F F E mv mv FE, v v بر مسیر حرکت عمودی است کاری انجام نمیدهد پس نباید
6 54. هنگامی که یک قطار تفریحی از پایینترین نقطۀ مسیرکاری به شعاع انحنای 0m عبور میکند سرنشینان داخل آن خود را %5 سنگینتر احساس میکنند. سرعت قطار در هنگام عبور از این نقطه چند متر بر ثانیه است 0 ) 0 ) ) گ را با بیشینۀ سرعت مجاز V طی می- را ( بدون لغزش جانبی( حداکثر با چه 55. اتومبیلی پیچهای جادهای بدون اصطکاک به شعاع انحنای و زاویۀ شیب عرضی 45 کند. این اتومبیل در یک جادۀ افقی با ضریب اصطکاک ایستایی /5 پیچی به شعاع انحنای سرعت میتواند دور بزند V V ) V ) V ) گ پیچی به شعاع 800m را دور میزند. اگر فاصلۀ افقی دو ریل / m 5 باشد ریل بیرونی 7 Km hh 56. قطاری با سرعت )در پیچ( باید چند سانتیمتر باالتر از ریل درونی باشد تا قطار واژگون نشود ( از اصطکاک جانبی ریل با چرخهای قطار صرف نظر میشود.( 7/5 ) 7/5) /75) گ V tanα, Km m 0 400 V 7 0 tanα g h 8000 8000 h h tanα 0/ 05 x 5 / h 75cm / h x / 5 α
6 57. مطابق شکل مقابل دو اتومبیل, پیچ جادهای بدون اصطکاک با شیب عرضی α را با سرعت ثابتی طی میکنند. حداکثر سرعت مجاز کدام اتومبیل بیشتر است α ) ) ( برابر است. 4( به جرم اتومبیل بستگی دارد. گ... 58. اتومبیلی پیچ افقی را با سرعت ثابت دور میزند. حداقل چند نیرو در زمان دوران به اتومبیل وارد میشود 4 ) ) ) به طور یکنواخت بر مسیری به شکل دایره در صفحه xoy حرکت میکند. اگر بردار π ad 59. ذرهای با سرعت زاویهای ) SI کدام است t باشد بردار سرعت آن در لحظۀ ) SI )در v j سرعت ذره در لحظه t 0 به صورت : )در i i ) j ) j ) گ
64 6. ذرهای با سرعت زاویهای ثابت برروی دایرهای به شعاع m حرکت میکند اگر در یک لحظه معادلۀ سرعت ذره در SI به باشد معادلۀ شتاب آن در همین لحظه و در SI کدام می تواند باشد V i j صورت : i j i j ) ij ) ij ) vy ay ax a a ax ay a ay ay m m ax 0 a m y ax v a 45 45 45 vx a x 45 ay ay tan45 ay ax a a x y x a a i a j a i j x a 45 a y 45 گ 4